Curva de probabilidad normal: computación, características y aplicaciones
Lea este artículo para conocer los cálculos, las características y las aplicaciones de la curva de probabilidad normal en las estadísticas.
Cálculo de la curva de probabilidad normal:
Si una moneda se lanza sin sesgo, caerá la cabeza (H) o la cola (T). Esta probabilidad de aparecer una cabeza es una posibilidad entre dos. Entonces, la razón de probabilidad de H es ½ y T es ½.
Del mismo modo, lanzaremos dos monedas, moneda x y moneda y hay cuatro formas posibles de caer.
Por lo tanto, las cuatro formas posibles son: tanto x como y pueden caer H, x puede caer T y y H, x pueden caer H y yT o ambos pueden caer T.
Expresado en proporciones
Probabilidad de dos cabezas = ¼
Probabilidad de dos colas = ¼
Probabilidad de una H y una T = ¼
Probabilidad de una T y una H = ¼
Por lo tanto, la relación es ¼ + ½ + ¼ = 1.00
La apariencia esperada de cabezas y colas de dos monedas se puede expresar como:
(H + T) 2 = H 2 + 2HT + T 2
Si aumentamos el número de monedas a tres, es decir, x, y y Z, puede haber ocho arreglos posibles.
La apariencia esperada de cabezas y colas de monedas se puede expresar como:
De esta manera podemos determinar la probabilidad de diferentes combinaciones de cabezas y colas de cualquier número de monedas. Podemos obtener la probabilidad de cualquier número de monedas por expansión binomial. Una expresión que contiene dos términos se llama expresión binomial. El teorema binomial es una fórmula algebraica que expande el poder de una expresión binomial en forma de serie.
La fórmula se lee así:
(H + T) n = C (n, 0) H n + C (n, 1) H n-1 T + C (n, 2) H ( n-2) T 2 ....
... + C (n, r) H nr T r + .... + C (n, n) T n … (11.1)
Donde C = combinaciones posibles.
C (n, r) = n! / R! (n - r)!
¡norte! significa 1 x 2 x 3 x…. xn
n = Número total de observaciones o personas.
r = Número de observaciones o personas tomadas a la vez.
Así, la expansión binomial de
Si los datos anteriores se representan en un gráfico como histograma y polígono de frecuencia, será como se muestra a continuación (fig. 11.1)
Así, la cifra que obtuvimos del sorteo de 10 monedas (H + T) 10 es un polígono de muchos lados simétricos.
Y si continuamos aumentando el número de monedas, con cada aumento, el polígono exhibirá una línea de superficie perfectamente lisa en la figura-11.2 que se muestra a continuación:
Esta curva en forma de campana se denomina "curva de probabilidad normal". Por lo tanto, la "gráfica de la función de densidad de probabilidad de la distribución normal es una curva en forma de campana continua, simétrica respecto a la media" se llama curva de probabilidad normal.
En estadística es importante porque:
(A) Es la distribución de muchas variables que ocurren naturalmente, como la inteligencia de los estudiantes de 8º grado, la altura de los estudiantes de 10º grado, etc.
(b) La distribución de las medias de las muestras extraídas de la mayoría de las poblaciones de origen es normal o aproximadamente, cuando las muestras son lo suficientemente grandes.
Por lo tanto, la curva normal tiene gran importancia en las ciencias sociales y en las ciencias del comportamiento. En la medición del comportamiento, la mayoría de los aspectos se aproximan a la distribución normal. Por lo tanto, la curva de probabilidad normal o la más conocida como NPC se utiliza como curva de referencia. Para entender la utilidad del NPC debemos tener que entender las propiedades del NPC.
Características de la curva de probabilidad normal:
Algunas de las principales características de la curva de probabilidad normal son las siguientes:
1. La curva es bilateralmente simétrica.
La curva es simétrica a su ordenada del punto central de la curva. Significa que el tamaño, la forma y la pendiente de la curva en un lado de la curva son idénticos al otro lado de la curva. Si la curva está dividida en dos, su lado derecho coincide completamente con el lado izquierdo.
2. La curva es asintótica:
La curva de probabilidad normal se aproxima al eje horizontal y se extiende desde-∞ a + ∞. Significa que los extremos de la curva tienden a tocar la línea de base pero nunca la tocan.
Se muestra en la figura (11.3) que figura a continuación:
3. La media, la mediana y el modo:
La media, la mediana y el modo caen en el punto medio y son numéricamente iguales.
4. Los puntos de inflexión se producen en ± 1 unidad de desviación estándar:
Los puntos de afluencia en un NPC se producen a ± 1σ por unidad por encima y por debajo de la media. Así, en este punto, la curva cambia de convexa a cóncava en relación con el eje horizontal.
5. El área total de NPC se divide en ± desviaciones estándar:
El total de NPC se divide en seis unidades de desviación estándar. Desde el centro se divide en tres unidades de desviación estándar + ve 'y tres unidades de desviación estándar - ve'.
Por lo tanto, ± 3σ de NPC incluyen diferentes números de casos por separado. Entre ± 1σ se encuentran en el medio 2 / 3º casos o 68.26%, entre ± 2σ se encuentra en 95.44% de casos y entre ± 3σ se encuentran en 99.73% de casos y más allá de + 3σ solo caen 0.37% de los casos.
6. La ordenada Y representa la altura de la curva de probabilidad normal:
La ordenada Y del NPC representa la altura de la curva. En el centro se produce la ordenada máxima. La altura de la curva en el punto medio o medio se denota como Y 0 .
Para determinar la altura de la curva en cualquier punto, utilizamos la siguiente fórmula:
7. Es unimodal:
La curva solo tiene un punto pico. Porque la frecuencia máxima se produce sólo en un punto.
8. La altura de la curva disminuye simétricamente:
La altura de la curva disminuye a la dirección simétrica desde el punto central. Significa que M + σ y M - σ son iguales si la distancia desde la media es igual.
9. La media de NPC es µ y la desviación estándar es σ:
Como la media de la NPC representa la media de la población, está representada por µ (Meu). La desviación estándar de la curva está representada por la letra griega, σ.
10. En la curva de probabilidad normal, la desviación estándar es el 50% más grande que la Q:
En NPC, la Q generalmente se denomina error probable o PE.
La relación entre PE y a se puede establecer como sigue:
1 PE = .6745σ
1σ = 1.4826PE.
11. Q puede usarse como una unidad de medida para determinar el área dentro de una parte determinada:
12. La desviación media sobre la media de NPC es .798σ:
Existe una relación constante entre la desviación estándar y la desviación promedio en un NPC.
13. La ordenada del modelo varía cada vez más a la desviación estándar:
En una curva de probabilidad normal, la ordenada modal varía cada vez más a la desviación estándar. La desviación estándar de la curva de probabilidad normal aumenta, la ordenada modal disminuye y viceversa.
Aplicaciones de la curva de probabilidad normal:
Algunas de las aplicaciones más importantes de la curva de probabilidad normal son las siguientes:
Los principios de la curva de probabilidad normal se aplican en las ciencias del comportamiento en muchas áreas diferentes.
1. NPC se utiliza para determinar el porcentaje de casos en una distribución normal dentro de los límites dados:
La curva de probabilidad normal nos ayuda a determinar:
yo. Qué porcentaje de casos se encuentra entre dos puntuaciones de una distribución.
ii. Qué porcentaje de puntuaciones se encuentra por encima de una puntuación particular de una distribución.
iii. Qué porcentaje de puntajes se encuentra debajo de un puntaje particular de una distribución.
Ejemplo:
Dada una distribución de puntajes con una media de 24 y σ de 8. Suponiendo que el porcentaje de casos caerá entre 16 y 32.
Solución:
Aquí, ante todo, tenemos que convertir los puntajes 16 y 32 en un puntaje estándar.
Al ingresar a la Tabla-A, el área de la tabla bajo NPC, se encuentra que 34.13 casos se encuentran entre la media y - 1σ y 34.13 casos se encuentran entre la media y + 1σ. Así que ± σ cubre el 68, 26% de los casos. De modo que el 68, 25% de los casos caerán entre 16 y 32.
Ejemplo:
Dada una distribución de puntuaciones con una media de 40 y σ de 8. Suponiendo que el porcentaje de casos estará por encima y por debajo de la puntuación 36.
Solución:
En primer lugar tenemos que convertir el puntaje bruto 36 en puntaje estándar.
Al ingresar a la Tabla-A, el área de la tabla debajo del NPC se encuentra que el 19.15% de los casos se ubican entre la Media y la -.5σ. Por lo tanto, el porcentaje total de casos por encima del puntaje 36 es 50 + 19.15 = 69.15% y por debajo del puntaje 36 es 50-19.15 = 30.85%. Entonces, en la distribución, 69.15% de los casos están por encima del puntaje 36 y 30.85% de los puntajes están por debajo del puntaje 36.
2. NPC se utiliza para determinar el valor de una puntuación cuyo rango de percentil se otorga:
Mediante el uso de la tabla NPC podemos determinar el puntaje bruto de la persona si se da el rango percentil.
Ejemplo:
En una distribución de puntuaciones de una dosis, el rango percentil de Pinky en estadísticas es 65. La media de la distribución es de 55 con una desviación estándar de 10. Hallazgo pero la puntuación bruta de Pinky en Estadísticas.
Solución:
Como el rango percentil de Pinky es 65, en una distribución normal su posición es 35% superior a la media. Al ingresar a la tabla 'A', encontramos que el 35% de la media es + 1.04 σ.
Al poner el valor en la puntuación 'Z'.
3. NPC se usa para encontrar los límites en una distribución normal que incluye un porcentaje dado de casos:
Cuando una distribución se distribuye normalmente y lo que sabemos sobre la distribución es la media y la desviación estándar en ese momento al usar el área de la tabla en NPC, podemos determinar los límites que incluyen un porcentaje determinado de casos.
Ejemplo:
Dada una distribución de puntajes con una media de 20 y σ de 5. Si asumimos la normalidad, ¿qué límites incluirán el 75% de los casos?
Solución:
En una distribución normal, el 75% de los casos incluye 37, 5% de casos por encima de la media y 37, 5% de casos por debajo de la media. De la Tabla-A podemos decir que el 37.5% de los casos cubre 1.15 unidades σ. Por lo tanto, el 75% de los casos se ubican entre la media y ± 1.15 unidades σ.
Así, en esta distribución, el 75% de los casos incluirá los límites 14.25 a 25.75.
4. Se utiliza para comparar dos distribuciones en términos de superposición:
Si las puntuaciones de dos grupos en una variable particular se distribuyen normalmente. Lo que sabemos sobre el grupo es la media y la desviación estándar de ambos grupos. Y queremos saber en qué medida el primer grupo sobrepasa al segundo grupo o viceversa en ese momento, podemos determinar esto utilizando el área de tabla debajo de NPC.
5. El NPC nos ayuda a dividir un grupo en subgrupos de acuerdo con cierta capacidad y a asignar las calificaciones:
Cuando queremos dividir un grupo grande en ciertos subgrupos de acuerdo con alguna habilidad específica en ese momento, usamos las unidades de desviación estándar de un NPC como unidades de escala.
Ejemplo:
Se administró una prueba de rendimiento a los 600 estudiantes de 8º grado. El profesor desea asignar a estos estudiantes a 4 grados, es decir, A, B, C y D de acuerdo con su desempeño en el examen. Asumiendo la normalidad de la distribución de puntajes, calcule el número de estudiantes que se pueden colocar en cada grupo.
Solución:
El área debajo de un NPC se divide en ± 3σ unidades o 6σ unidades.
Aquí tenemos que dividir a los alumnos en 4 secciones.
Así que cada sección tiene
Así que si vamos a repartir la sección en orden de mérito.
La sección A estará dentro de 1.5σ a 3σ
La sección B estará dentro de la media de 1.5σ
La sección C estará dentro de la media de —1.5σ
y la Sección D será con en —1.5σ a - 3σ.
6. NPC ayuda a determinar la dificultad relativa de los elementos de prueba o problemas:
Cuando se sabe que el porcentaje de estudiantes resolvió con éxito un problema, podemos determinar el nivel de dificultad del elemento o problema mediante el uso del área de tabla en NPC.
7. NPC es útil para normalizar una distribución de frecuencia:
Para normalizar una distribución de frecuencia usamos la curva de probabilidad normal. Para el proceso de estandarizar una prueba psicológica este proceso es muy necesario.
8. Para probar el significado de las observaciones de experimentos usamos NPC:
En un experimento, probamos la relación entre las variables ya sea debido a fluctuaciones casuales o errores del procedimiento de muestreo o si se trata de una relación real. Esto se hace con la ayuda del área de la tabla en NPC.
9. NPC se utiliza para generalizar sobre la población de la muestra:
Calculamos el error estándar de la media, el error estándar de la desviación estándar y otras estadísticas para generalizar sobre la población de la que se extraen las muestras. Para este cálculo usamos el área de la tabla debajo de NPC.
